LES CHRONIQUES RECLUSIENNES
Les isosurfaces appliquées à la modélisation des coquillages et à la construction logique de ce site
(en cours car en chantier)

Tout ce qui suit est tiré du livre "Open Geometry" de Georg Glaeser et Hellmuth Stachel, édition Springer et du site de M C.Nguyen enseignant chercheur en informatique, affecté à la faculté des sciences et techniques de l’université de Toulon et du Var, membre du laboratoire Imath.

On distingue plusieurs types de surfaces en fonction du type de trajectoire et de courbe génératrice. On étudie par la suite les différentes trajectoires adaptées à la modélisation d’une coquille.
Les surfaces spiroïdales
Déplacement hélicoïdal : soit un axe a dans l’espace euclidien 3D, ce déplacement est la combinaison d’une rotation autour de a à vitesse angulaire constante et d’une translation le long de a à vitesse également constante. La relation qui lie l’angle a de rotation et la longueur l de la translation peut s’écrire :
$ p Î R*, l = p.a
On constate que la courbe résultante s’inscrit sur la surface d’un cylindre de révolution d’axe a.
Déplacement spiralé : soit le même axe a et un point fixe O sur a (point asymptotique), une spirale est une famille continue de rotations élastiques, chacune d’entre elles étant le produit (commutatif) d’une rotation autour de a et d’une homothétie de centre O, ce que l’on peut écrire :

$ p Î R*, s = epa

s est appelé facteur d’"élasticité".

Une trajectoire spiralée est contenue dans un cône de révolution d’axe a et de sommet O. Sa projection normale à un plan P contenant O, perpendiculaire à a, est une spirale logarithmique.
Surface spiralée : elle est obtenue en appliquant un déplacement spiralée (a, O, p) à une courbe k (qui ne doit pas être elle-même une spirale).

Approche analytique : nous décrivons ci-dessous les courbes et les surfaces spiroïdales dans un système de coordonnées cartésien.

Courbe passant par P(x0, y0, z0) :

x(a) = epa(x0 cos a - y0 sin a)

y(a) = epa(x0 sin a + y0 cos a)

z(a) = z0 epa

Surface paramétrée par la courbe (x(u), y(u), z(u)) :

x(u,a) = epa(x(u) cos a - y(u) sin a)

y(u,a) = epa(x(u) sin a + y(u) cos a)

z(u,a) = z(u) epa

Exemple d’application :

Une ellipse comme courbe génératrice,soient r et s les demi-longueurs de l’axe primaire et secondaire, on a :

x(u) = s + s cos u

y(u) = 0

z(u) = r sin u


Les surfaces hélispiroïdales

Surfaces à la fois hélicoïdales et spiroïdales, elles s’expriment comme la combinaison d’une rotation d’angle a autour d’un axe a et d’une dilatation proportionnelle (non exponentielle) à p (facteur de proportion) pa par rapport à un point fixe O Î a.

Soient O(0, 0, s) et p, la trajectoire d’un point (r0, j0, z0) en coordonnées cylindriques est décrite par le paramètre temporel t :

r = p.t.r0

j = j0 - 1/p + t

z = s + p.t (z0 - s)

L’équation paramétrique d’une rotation autour d’un axe a, d’un angle 1/p - j0 s’écrit :

x(t) = p.t.r0 cos t

y(t) = p.t.r0 sin t

z(t) = s + p.t (z0 - s)